そんで、今更ながら微積分の本など読んでいる。

平均値の定理ってあるじゃないですか。$f$ が $[a,b]$ 上で連続で $(a,b)$ で微分可能とすると、ある $\xi \in (a,b)$ で $f(b) - f(a) = (b-a)f'(\xi)$ となるってやつね。まあこれは直感的に明らかというか、証明はいらんやろ、って感じで読み飛ばすんだけど、これを拡張した Cauchy の平均値の定理ってのは初めて知りました。おんなじような条件で、$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ となって、要するに $(t, f(t), g(t))$ を三次元の曲線と思って $(f'(t), g'(t))$ を考えると、$t$ を潰した平面のどこかしらで向きが平行になるよねという定理。そしてここからロピタルの定理が証明されるってわけ。いままで分子分母を微分する度に、これでええんやろかと不安に思っていたのが解消されてスッキリしました。あとはあれね、一様収束するなら極限と積分を交換して良いって定理ね。目の前で証明してもらえると安心よね。諸乃禍事罪穢有良牟乎婆祓閉給比清米給閉って感じ。