微分積分学原論だとこう：

• $s \in S$ に対して $s \leq u$ を満たすとき、$u$ を $S$ の上界という
• 図形 $S$ に上界が存在するとき、$S$ は上に有界という
• $S$ の上界の最小数 $u_0$ を $S$ の上限といい、$u_0 = \mathrm{sup} \,S$ と書く

数学解析（上）だと：

• 実数の集合 $S$、実数 $u$ について、$s \leq u \ (s \in S)$ が成り立つとき、$S$ は上に有界という
• $u$ を $S$ の上界という
• 次の性質を持つ $u_0$ を $S$ の上限($\mathrm{sup}\,S$)という：
• $s \leq u_0 (s \in S)$
• $\forall \epsilon > 0, \exists u \in S; u_0 - \epsilon < u$

最大数と違って S に含まれる必要がないのか。書き方が違うのは、前者だと先に実数の連続性を公理として導入しているからかな？ 実は連続とか微分可能も解っていない。